结论专题

2021-06-08 03:37:11


写在前面

最近遇到一些“知道题”,或者是必须有一个基础的数学结论才能继续往下做的题目,故决定整理一下,并适当给出结论的证明。

数字结论/近似计算

平方/立方和公式

$$ \begin{aligned} \sum_{i=1}^n i &= C_{n+1}^2 = \frac{n(n+1)}{2} \\ \sum_{i=1}^n i^2 &= C_{n+1}^2 +2C_{n+1}^3= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ \sum_{i=1}^n i^3 &= C_{n+1}^2 +6C_{n+1}^3+6C_{n+1}^4= \frac{n^2(n+1)^2}{4} \end{aligned} $$

斯特林公式(Stirling公式)

$$ n!\approx \sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n $$
证明略.
例题:

组合数学

基本公式

$$ \begin{aligned} A_n^m &= \frac{n!}{(n-m)!}\\ C_n^m &= \frac{n!}{(n-m)!m!} \end{aligned} $$